Différence entre deux nombres premiers - Corrigé

Énoncé

1. Existe-t-il des couples \((p;q)\) de nombres premiers tels que \(q=p+1\) ? Si oui, les donner tous.

2. a. Existe-t-il des couples \((p;q)\) de nombres premiers tels que \(q=p+2\) ? Si oui, donner trois exemples.
    b. Un couple \((p;q)\) de nombres premiers tels que \(q=p+2\) est appelé couple de nombres premiers jumeaux. Vérifier que le couple \((827;829)\) est un couple de nombres premiers jumeaux.

Solution

1. Le couple \((p;q)=(2;3)\) convient. 
C'est le seul couple de nombres consécutifs premiers. En effet, si deux entiers sont consécutifs, alors l'un est pair, c'est-à-dire est un multiple de \(2\) .
Comme \(2\) est le seul multiple de \(2\) qui est premier, il doit se trouver dans ce couple.

2. a. Les couples \((3;5)\) , \((5;7)\) et \((11;13)\) conviennent.

    b. Il suffit de vérifier que \(827\) et \(829\) sont premiers, car leur différence est clairement égale à \(2\) .
On a \(\sqrt{827} \approx 28,8\) et \(827\) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à \(28\) , donc \(827\) est premier.
On a \(\sqrt{829} \approx 28,8\) et \(829\) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à \(28\) , donc \(829\) est premier.